Nació en Cocula, Jalisco, el 19 de abril de 1900. Se le considera como uno de los poetas mexicanos de mayor importancia del siglo XX.  Comenzó sus estudios de medicina en Guadalajara para luego concluir, en 1930,  la carrera de médico en la Escuela de Medicina de la Universidad Nacional en la ciudad de México. Su labor como médico la realizó principalmente en los hospitales Juárez y de la penitenciaria.  

Sobre Elías Nandino, cabe señalar su capacidad para alternar, con la misma maestría, la pluma y el bisturí. Durante su estadía en la ciudad de México conoció a Salvador Novo y a Xavier Villaurrutia. Con éste último entabló una estrecha amistad. A diferencia de otros poetas jaliscienses influenciados por los modernistas, Nandino no mostraba preocupaciones religiosas, en muchos de sus versos se siente un constante panteísmo.

Publicó ensayos, poemas y crítica literaria en diversos medios como El Universal Ilustrado, América, Metáfora, Estaciones, Xalistlico, Suma, entre otros. En el año de 1926 editó la revista Allis Vivere. De 1936 a 1937 publicó la colección Cuadernos de México Nuevo, con obras de Villaurrutia, Usigli, Samuel Ramos, Carlos Luquín, Salvador Novo y del él mismo. Dirigió de 1956 a 1960 la revista trimestral Estaciones, y de 1960 a 1964 Cuadernos de Bellas Artes. 

Perteneció a los cafés literarios en cuya revista Taza de Café publicó su obra Retratos y Poemas. Asimismo, dirigió el taller de literatura de Bellas Artes de Jalisco, donde dedicó su tiempo a la orientación de jóvenes escritores.

Entre los títulos más relevantes del prolífico poeta se encuentran: Espiral en 1928; Color de Ausencia, en 1932; Eco, en 1934; Río de sombra, en 1935; Sonetos, en 1937; Suicidio lento, en 1937; Poemas de árboles, en 1938;  Nuevos sonetos, en 1939; y Espejo de mi muerte, en 1945. En 1947 publicó Poesía I, que contiene algunos de sus libros anteriores, con dos más que estaban inéditos: Canciones, en 1924 y Nudo de sombras, en 1941. Poesías II, que contiene algunos de sus libros anteriores más Prisma de sangre, Naufragio de la duda, Triángulo de silencios, Nocturna summa, Nocturno amor, Nocturno día, Nocturna palabra, Eternidad en polvo, entre otras. 

Incursionó fugazmente en la narrativa, publicando su único cuento en 1938, El Coronelito. Con la satisfacción de haber vivido plenamente, el poeta murió en 1992, en Cocula, Jalisco, dejando una gran obra poética de gran prestigio.